Kurvendiskussion - Beispiel 2
Beispiel:
Untersuchen Sie die Funktion
$$f(x)=x^3-9x$$
Lösung:
1. Ableitungen
\[\begin{array}{rl}
f'(x)&=3x^2-9\\
f''(x)&=6x\\
f'''(x)&=6
\end{array}\]
2.Symmetrie des Graphen
Die Funktionsvorschrift f(x) besitzt ausschließlich ungerade Exponenten. Das bedeutet der Graph ist symmetrisch zum Ursprung
3. Nullstellen
\[\begin{array}{rll}
f(x) &=0&\\
0 &=x^3-9x &|x \text{ ausklammern}\\
0 &=x(x^2-9) &|\text{3. binomische Formel} \\
0 &=x(x+3)(x-3)&
\end{array}\]
Also besitzt die Gleichung f(x)=0 folgende Lösungen:
$$x_1=0,~ x_2=-3, x_3=3$$
$$\color{purple}{\text{Nullstellen: } N_1(-3|0),~N_2(0|0),~N_3(3|0)}$$
4. Extremstellen
\[\begin{array}{rl}
f'(x) &= 0\\
3x^2-9 &=0\\
x^2 &=3
\end{array}\]
Also besitzt die Gleichung f'(x)=0 folgende Lösungen:
$$x_4=-\sqrt{3}, x_5=\sqrt{3}$$
Für $$x_4=-\sqrt{3}$$ ergibt sich
$$f'(-\sqrt{3})=0,~f''(-\sqrt{3})=-10,4<0$$
ein lokales Maximum.
Für $$x_5=\sqrt{3}$$ ergibt sich
$$f'(-\sqrt{3})=0,~f''(-\sqrt{3})=10,4>0$$
ein lokales Minimum.
$$\color{red}{\text{Extrempunkte: } H(-\sqrt{3}|10,4),~T(\sqrt{3}|-10,4)}$$
5. Wendestellen
\[\begin{array}{rl}
f''(x) &= 0\\
6x &=0\\
x&=0
\end{array}\]
Also besitzt die Gleichung f''(x)=0 folgende Lösung:
$$x_6=0$$
Es ergibt sich
$$f'''(0)=6\neq 0$$
eine Wendestelle.
$$\color{blue}{\text{Wendestelle: } W(0|0)}$$
6. Graph