Kurvendiskussion - Beispiel 1
Beispiel:
Untersuchen Sie die Funktion
$$f(x)=x^4-4x^2$$
Lösung:
1. Ableitungen
\[\begin{array}{rl}
f'(x)&=4x^3-8x\\
f''(x)&=12x^2-8\\
f'''(x)&=24x
\end{array}\]
2.Symmetrie des Graphen
Die Funktionsvorschrift f(x) besitzt ausschließlich gerade Exponenten. Das bedeutet der Graph ist symmetrisch zur y-Achse
3. Nullstellen
\[\begin{array}{rll}
f(x) &=0&\\
0 &=x^4-4x^2&|x^2 \text{ ausklammern}\\
0 &=x^2(x^2-4)&|\text{3. binomische Formel} \\
0 &=x^2(x+2)(x-2)&
\end{array}\]
Also besitzt die Gleichung f(x)=0 folgende Lösungen:
$$x_1=0,~ x_2=-2, x_3=2$$
$$\color{purple}{\text{Nullstellen: } N_1(-2|0),~N_2(0|0),~N_3(2|0)}$$
4. Extremstellen
\[\begin{array}{rl}
f'(x) &= 0\\
4x^3-8x &=0\\
x(4x^2-8) &=0\\
x(2x+\sqrt{8})(2x-\sqrt{8})=0
\end{array}\]
Also besitzt die Gleichung f'(x)=0 folgende Lösungen:
$$x_4=0,~ x_5=-\sqrt{2}, x_6=\sqrt{2}$$
Für $$x_4=0$$ ergibt sich
$$f'(0)=0,~f''(0)=-8\leq0$$
ein lokales Maximum.
Für $$x_5=-\sqrt{2}$$ ergibt sich
$$f'(-\sqrt{2})=0,~f''(-\sqrt{2})=16>0$$
ein lokales Minimum.
Für $$x_6=\sqrt{2}$$ ergibt sich
$$f'(\sqrt{2})=0,~f''(\sqrt{2})=16>0$$
ebenfalls ein lokales Minimum.
$$\color{red}{\text{Extrempunkte: } T_1(-1,41|-4),H(0|0),~T_2(1,41|-4)}$$
5. Wendestellen
\[\begin{array}{rl}
f''(x) &= 0\\
12x^2-8 &=0\\
(\sqrt{12}x+\sqrt{8})(\sqrt{12}x-\sqrt{8})&=0
\end{array}\]
Also besitzt die Gleichung f''(x)=0 folgende Lösungen:
$$x_7=-0,816,~ x_8=0,816$$
Für $$x_7=-0,816$$ ergibt sich
$$f'''(-0,816)=-19,59\neq 0$$
eine Wendestelle.
Für $$x_8=0,816$$ ergibt sich
$$f'''(0,816)=19,59\neq 0$$
eine weitere Wendestelle.
$$\color{blue}{\text{Wendestellen: } W_1(-0,816|-2,22),~W_2(0,816|-2,22)}$$
6. Graph