e-Funktion bestimmen
Eine e-Funktion verläuft durch die Punkte \(P_1(-4|3)\) und \(P_2(7|9)\). Bestimmen Sie die Variablen c und λ der Funktion \(f(x)=ce^{\lambda t}\).
Lösung:
Einsetzen der Werte aus \(P_1\) und \(P_2\) ergibt:
$$f(-4)=3=ce^{-4\lambda }$$
$$f(7)=9=ce^{7\lambda }$$
Umstellen nach c ergibt:
$$c=\frac{3}{e^{-4\lambda}}=3e^{4\lambda}$$
$$c=\frac{9}{e^{7\lambda}}=9e^{-7\lambda}$$
Gleichsetzen
$$\begin{array}{rlll} 3e^{4\lambda}&&=&&9e^{-7\lambda} &&|:3\\ e^{4\lambda}&&=&&3e^{-7\lambda} &&|:e^{-7\lambda}\\ \frac{e^{4\lambda}}{e^{-7\lambda}}&&= &&3\\ e^{4\lambda}\cdot e^{7\lambda}&&=&&3\\ e^{11\lambda}&&= &&3 &&|ln()\\ 11\lambda &&= && ln(3)=1,0986 &&|:11\\ \lambda &&= && 0,09987 \end{array}$$
Einsetzen in die erste Gleichung ergibt:
$$\begin{array}{rlll} 3 &&= &&ce^{-4\cdot 0,09987}\\ 3 &&= &&ce^{-0,399} &&\\ 3 &&= &&c 0,671&&|:0,671\\ c&&= &&4,47 &&\\ \end{array}$$
Damit ergibt sich
$$f(x)=4,47e^{0,09987\lambda}$$
