Bestimmen der Schnittpunkte zweier Graphen - Beispiel 4
Beispiel:
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel f(x)=3(x-3)2-9 mit der Geraden g(x)= -(x-5)2+3!
Lösung:
\begin{align} f(x) &= g(x) &&\\ 3(x-3)^2-9 &= -(x-5)^2+3 &&\\ 3(x^2-6x+9)-9 &= -(x^2-10x+25)+3 &&\\ 3x^2-18x+27-9 &= -x^2+10x-25+3 &&\\ 3x^2-18x+18 &= -x^2+10x-22 &|&+x^2\\ 4x^2-18x+18 &= 10x-22 &|&-10x\\ 4x^2-28x+18 &= -22 &|&+22\\ 4x^2-28x+40 &= 0 &|&:4\\ x^2-7x+10 &= 0 &&\\ \end{align}Nun können wir die Gleichung mit Hilfe der pq-Formel lösen.
$$x^2+px+q= 0$$ $$x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\$$Mit p=-7 und q = +10 folgt
\begin{align}
x_1&=-\frac{-7}{2}+\sqrt{(\frac{-7}{2})^2-10)}\\
&=\frac{7}{2}+\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{40}{4}}\\
&=\frac{7}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}\\
&=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}\\
x_1&=\frac{10}{2}=5\\
\end{align}
Einsetzen in die Funktionsvorschrift f
$$f(5)=3\cdot(5-3)^2-9=3\cdot 2^2-9=3\cdot4-9=12-9=3$$...liefert den ersten Schnittpunkt: S1(5|3)
Den zweiten Schnittpunkt erhalten wir mit
$$x_2=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=\frac{4}{2}=2$$und mit
$$f(2)=3\cdot(2-3)^2-9=3\cdot (-1)^2-9=3\cdot1-9=3-9=-6$$Der zweite Schnittpunkt befindet sich in Punkt S2(2|-6)
Überprüfen der Lösung:
- Graphen zeichnen
- Punkte überprüfen S1(5|3), S2(2|-6)