Komplexe Zahlen - Rechenregeln
Addition
$$z_1=a_1+jb_1$$
$$z_2=a_2+jb_2$$
$$z_3=z_1+z_2=a_1+jb_1+a_2+jb_2 = (a_1+a_2) + j(b_1+b_2)$$
Subtraktion
$$z_1=a_1+jb_1$$
$$z_2=a_2+jb_2$$
$$z_3=z_1-z_2=a_1+jb_1-(a_2+jb_2) = a_1+jb_1-a_2-jb_2= (a_1-a_2) + j(b_1-b_2)$$
Multiplikation
$$z_1=r_1·e^{j\varphi 1}$$
$$z_2= r_2·e^{j\varphi 2}$$
$$z_3=z_1·z_2= r_1·e^{j\varphi_1}·r_2·e^{j\varphi_2}= r_1·r_2·e^{j\varphi_1}·e^{j\varphi_2}= r_1·r_2·e^{j(\varphi_1+\varphi_2)}$$
Division
$$z_1=r_1·e^{j\varphi 1}$$
$$z_2= r_2·e^{j\varphi 2}$$
$$z_3=\frac{z_1}{z_2}= \frac{r_1·e^{j\varphi_1}}{r_2·e^{j\varphi_2}}= \frac{r_1}{r_2}·\frac{e^{j\varphi_1}}{e^{j\varphi_2}}=\frac{r_1}{r_2}·e^{j(\varphi_1-\varphi_2)}$$
Konjugiert komplexe Zahl
$$z=a+jb =r·e^{j\varphi}$$
$$z^*=a-jb =r·e^{-j\varphi}$$
Betrag
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$
Umrechnen zwischen den Darstellungsformen
E→K
$$z=r·cos(\varphi)+r·sin(\varphi)$$
K→E
$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$
$$\varphi= \left\{\begin{array}{lll}
\tan^{-1}(\frac{b}{a}) &a>0\\
\tan^{-1}(\frac{b}{a})+180° &a<0,b\ge0\\
\tan^{-1}(\frac{b}{a})-180° &a<0,b<0)\\
90° &a=0,b>0\\
-90°&a=0,b<0\\
unbestimmt &a=0,b=0
\end{array}\right\}$$